大神的世界

gamma函數 ( Γ(x) )

Γ(x) ≡ ∫ t^(x-1) e^(-t) dt  ,  x > 0    (∫ 0 ~ ∞)

性質:

Γ(1) = 1

Γ(1/2) =  √π

Γ(x + 1) = x Γ(x)

Γ(n + 1) = n!

L{ t^(α) } = Γ(α+1) / s^(α+1)   α > -1 , s > 0

B(p + q) = Γ(p)Γ(q) / Γ(p+q)

應用

1.三角積分

2.拉氏變換

<範例>

試求 L { √t }

L{ √t } = L{ t^(1/2) } = Γ(3/2) / s^(3/2) = √π / 2s^(3/2)

證明:

(1) 將1代入做積分

(2)

I = ∫ e^(-x^2) dx     (∫ 0 ~ ∞)

I^2 = ∫ e^(-x^2) dx ∫ e^(-y^2) dy = ∫∫ e^-(x^2 + y^2) dxdy = ∫∫ e^-(r^2) r drdθ  (∫ 0 ~ π/2 、0 ~ ∞)

       =  (1/2) ∫∫ e^-(r^2) dr^2 dθ = (1/2) ∫ dθ = π / 4

=> I = √π / 2

Γ(1/2) = ∫ t^(-1/2) e^(-t) dt = ∫ u^(-1) e^(-u^2) du^2 = 2 ∫ e^(-u^2) du = √π

(3) 分部積分

(4) 利用(3)之結果

(5) L{ t^α } = α! / s^(α + 1) = Γ(α + 1) / s^(α + 1)